Introduçao

A integração numérica 

Módulos

Este conjunto de programas de partícula em uma caixa resolve os valores próprios, em alguns casos também os vetores próprios de um Schroedinger em uma caixa com infinitamente alto paredes. O limite é então que a função de onda é zero on o limite.

Resolvemos o problema 1D no intervalo [0,1] com uma escolha de potenciais no intervalo. Dois métodos são usados:

1. Resolvendo para uma matriz finita em uma base de funções harmônicas satisfazendo as condições de contorno.
2. Integração numérica com o algoritmo Numerov, numericamente resolver para os valores de energia onde ambas as condições de contorno são satisfeito. 

O caso 2D é resolvido para um poço de forma quadrática ou circular mas apenas para V = 0 dentro do limite.

Existem problemas na resolução de valores próprios quase degenerados e a estabilidade numérica nas integrações numéricas.

• Aproximação de matrizes 1D.
• Apenas autoestados 1D.
• Pesquisa interativa 1D.
• Poço retangular 2D.
• Poço quadrado ou circular 2D.

 Aproximação de matrizes 1D

O programa <matrix1.m> resolve autovalores e autofunções aproximadas usando os métodos de diagonalização da matriz incorporados.

Hamiltoniano = parte cinética + potencial definido em [0,1] + BC: u (0) = u (1) = 0.

O potencial é escolhido a partir de um conjunto definido em <pot1.m> usando <choice.m>, e a força dela é definida por um multiplicador.

O multiplicador deve ser escolhido grande o suficiente para obter efeitos interessantes.

Lembre-se que a escala do espectro de uma partícula confinada a [0,1] é E = (n * pi) ^ 2/2, aprox = 5, 20, 44, 79, 123, 178 .

O conjunto de base são funções harmônicas em [0,1] adaptadas aos BCs, você escolha o número deles usados, digamos de 50 a 150 dependendo do seu PC.

Os elementos da matriz da energia cinética são definidos analiticamente, aqueles do potencial são calculados usando o FFT embutido no MATLAB.

Então os autovalores e autofunções da matriz finita resultante são encontrado usando o algoritmo MATLAB <eig> e exibido graficamente.

POSSÍVEIS ERROS: Poucas funções básicas resultarão em fácil observação erros na ordem das autofunções: a relação bem conhecida entre o número de nós e a ordem do valor próprio podem falhar.

As autofunções calculadas podem então ser usadas para encontrar a evolução de um pacote de ondas inicialmente gaussiano. A evolução resultante será interessante se o potencial e a velocidade forem escolhidos adequadamente.