Solução de oscilador harmônico usando operadores

Os métodos do operador são muito úteis para resolver o problema do oscilador harmônico e para qualquer tipo de cálculo do potencial HO. Os operadores que desenvolvemos também serão úteis na quantização do campo eletromagnético.

O Hamiltoniano para o Oscilador Harmônico 1D

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = {p ^ 2 \ over 2m} + {1 \ over 2} m \ omega ^ 2x ^ 2 \ egroup \ end {displaymath}

 

 

parece que pode ser escrito como o quadrado de um operador. Pode ser reescrito em termos do operador \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroup

\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle A \ equiv \ left (\ sqrt {m \ omega \ over2 \ hbar} x + i {p \ over \ sqrt {2m \ hbar \ omega}} \ right) $ \ egroup

e seu conjugado hermitiano \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroup.

\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle H = \ hbar \ omega \ left (A ^ \ dagger A + {1 \ over 2} \ right) $ \ egroup

Usaremos os comutadores entre \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroup, \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroupe \ bgroup \ color {black} $ H $ \ egrouppara resolver o problema HO.

\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle [A, A ^ \ dagger] = 1 $ \ egroup

Os comutadores com o hamiltoniano são facilmente calculados.

 

\ begin {eqnarray *} [H, A] & = & - \ hbar \ omega A \\ {[H, A ^ \ dagger]} & = & \ hbar \ omega A ^ \ dagger \\ \ end {eqnarray * }

 

 

 

 

A partir desses comutadores, podemos mostrar que \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroupé um operador de aumento para os estados do oscilador harmônico

\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle A ^ \ dagger u_n = \ sqrt {n + 1} u_ {n + 1} $ \ egroup

e esse \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroupé um operador de rebaixamento .

\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle Au_n = \ sqrt {n} u_ {n-1} $ \ egroup

Como a redução deve parar em um estado fundamental com energia positiva, podemos mostrar que as energias permitidas são

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} E_n = \ left (n + {1 \ over 2} \ right) \ hbar \ omega. \ egroup \ end {displaymath}

 

 

As funções de onda reais podem ser deduzidas usando os operadores diferenciais para \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroupe \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroup, mas geralmente é mais útil definir o \ bgroup \ color {black} $ n ^ {th} $ \ egroupestado próprio em termos do estado fundamental e dos operadores de elevação.

\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle u_n = {1 \ over \ sqrt {n!}} (A ^ \ dagger) ^ nu_0 $ \ egroup

Quase qualquer cálculo de interesse pode ser feito sem funções reais, uma vez que podemos expressar os operadores para posição e momento.

 

\ begin {eqnarray *} x & = & \ sqrt {\ hbar \ over 2m \ omega} (A + A ^ \ dagger) \\ p & = & - i \ sqrt {m \ hbar \ omega \ over 2} (AA ^ \ dagger) \\ \ end {eqnarray *}

Apresentando \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroupe \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroup

O Hamiltoniano para o Oscilador Harmônico 1D

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = {p ^ 2 \ over 2m} + {1 \ over 2} m \ omega ^ 2x ^ 2 \ egroup \ end {displaymath}

 

pode ser reescrito em termos do operador$ A $

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} A \ equiv \ left (\ sqrt {m \ omega \ over2 \ hbar} x + i {p \ over \ sqrt {2m \ hbar \ omega}} \ right) \ egroup \ end {displaymath}

 

e seu conjugado hermitiano

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} A ^ \ dagger = \ left (\ sqrt {m \ omega \ over2 \ hbar} xi {p \ over \ sqrt {2m \ hbar \ omega}} \ right) \ egroup \ end {displaymath}

 

Ambos os termos no hamiltoniano do oscilador harmônico são quadrados de operadores. Observe que \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroupé escolhido de forma que \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger A $ \ egroupseja próximo ao hamiltoniano. Primeiro, calcule a quantidade

 

\ begin {eqnarray *} A ^ \ dagger A & = & {m \ omega \ over2 \ hbar} x ^ 2 + {p ^ 2 \ over 2m \ hbar \ omega} ... ... & {p ^ 2 \ mais de 2m} + {1 \ over 2} m \ omega ^ 2x ^ 2- {1 \ over 2} \ hbar \ omega. \\ \ end {eqnarray *}

 


 

A partir disso, podemos ver que o hamiltoniano pode ser escrito em termos de$ A ^ \ dagger A $ e algumas constantes.

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = \ hbar \ omega \ left (A ^ \ dagger A + {1 \ over 2} \ right). \ egroup \ end {displaymath}

Comutadores de \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroup, \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroupe \ bgroup \ color {black} $ H $ \ egroup

Usaremos o comutador entre \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroupe \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egrouppara resolver o problema OH. Os operadores são definidos para serem

 

\ begin {eqnarray *} A & = & \ left (\ sqrt {m \ omega \ over2 \ hbar} x + i {p \ over \ sqrt {2m \ hbar \ om ... ... t {m \ omega \ over2 \ hbar} xi {p \ over \ sqrt {2m \ hbar \ omega}} \ right). \\ \ end {eqnarray *}

O comutador é

 

\ begin {eqnarray *} [A, A ^ \ dagger] & = & {m \ omega \ over2 \ hbar} [x, x] + {1 \ over 2m \ hbar \ omega ... ... \\ & = & {i \ over 2 \ hbar} (- [x, p] + [p, x]) = {i \ over \ hbar} [p, x] = 1. \\ \ end {eqnarray *}

 


 

Vamos usar este comutador simples

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [A, A ^ \ dagger] = 1 \ egroup \ end {displaymath}

 

para calcular comutadores com o Hamiltoniano . Isso é fácil se \ bgroup \ color {black} $ H $ \ egroupfor escrito em termos de \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroupe \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroup.

 

\ begin {eqnarray *} [H, A] & = & \ hbar \ omega [A ^ \ dagger A, A] = \ hbar \ omega [A ^ \ dagger, A] A = - \ ... ... er] = \ hbar \ omega A ^ \ dagger [A, A ^ \ dagger] = \ hbar \ omega A ^ \ dagger \\ \ end {eqnarray *}

 

 
 

Use comutadores para derivar energias HO

Nós calculamos os comutadores

 

\ begin {eqnarray *} [H, A] & = & - \ hbar \ omega A \\ {[H, A ^ \ dagger]} & = & \ hbar \ omega A ^ \ dagger \\ \ end {eqnarray * }

 


 

Aplique \ bgroup \ color {black} $ [H, A] $ \ egroupà autofunção de energia \ bgroup \ color {black} $ u_n $ \ egroup.

 

\ begin {eqnarray *} [H, A] u_n = - \ hbar \ omega Au_n \\ HAu_n-AHu_n = - \ hbar \ omega Au_n \\ ... ... (Au_n) = - \ hbar \ omega Au_n \ \ H (Au_n) = (E_n- \ hbar \ omega) (Au_n) \\ \ end {eqnarray *}

 


 

Esta equação mostra que \ bgroup \ color {black} $ Au_n $ \ egroupé uma autofunção de \ bgroup \ color {black} $ H $ \ egroupcom autovalor . Portanto, reduz a energia em . \ bgroup \ color {black} $ E_n- \ hbar \ omega $ \ egroup\ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroup \ bgroup \ color {black} $ \ hbar \ omega $ \ egroup

Agora, aplique \ bgroup \ color {black} $ [H, A ^ \ dagger] $ \ egroupà autofunção de energia \ bgroup \ color {black} $ u_n $ \ egroup.

 

\ begin {eqnarray *} [H, A ^ \ dagger] u_n = \ hbar \ omega A ^ \ dagger u_n \\ HA ^ \ dagger u_n-A ... ... r u_n) \\ H (A ^ \ punhal u_n) = (E_n + \ hbar \ omega) (A ^ \ punhal u_n) \\ \ end {eqnarray *}

 


 

\ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger u_n $ \ egroupé uma autofunção de \ bgroup \ color {black} $ H $ \ egroupcom autovalor . aumenta a energia por . \ bgroup \ color {black} $ E_n + \ hbar \ omega $ \ egroup\ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroup \ bgroup \ color {black} $ \ hbar \ omega $ \ egroup

Não podemos continuar reduzindo a energia porque a energia HO ​​não pode cair abaixo de zero .

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ langle \ psi \ vert H \ vert \ psi \ rangle = {1 \ ... ... er 2} m \ omega ^ 2 \ langle x \; \ psi \ vert x \; \ psi \ rangle \ geq 0 \ egroup \ end {displaymath}

 

A única maneira de impedir que o operador de abaixamento tire a energia negativa é que o abaixamento forneça zero para a função de onda. Como será o nível de energia mais baixo, isso deve acontecer para o estado fundamental. Quando diminuímos o estado fundamental, devemos obter zero .

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} Au_0 = 0 \ egroup \ end {displaymath}

 

Como o hamiltoniano contém \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroupem um local conveniente, podemos deduzir a energia do estado fundamental .

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} Hu_0 = \ hbar \ omega (A ^ \ dagger A + {1 \ over 2}) u_0 = {1 \ over 2} \ hbar \ omega u_0 \ egroup \ end {displaymath }

 

A energia do estado fundamental é e os estados em geral têm energias \ bgroup \ color {black} $ E_0 = {1 \ over 2} \ hbar \ omega $ \ egroup

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} E = \ left (n + {1 \ over 2} \ right) \ hbar \ omega \ egroup \ end {displaymath}

 

uma vez que mostramos o aumento e a redução em etapas de \ bgroup \ color {black} $ \ hbar \ omega $ \ egroup. Apenas um estado com energia pode parar a redução, então as únicas energias permitidas são \ bgroup \ color {black} $ E_0 = {1 \ over 2} \ hbar \ omega $ \ egroup

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} E = \ left (n + {1 \ over 2} \ right) \ hbar \ omega. \ egroup \ end {displaymath}

É interessante notar que temos um operador de número para \ bgroup \ color {black} $ n $ \ egroup

 

\ begin {eqnarray *} H & = & \ left (A ^ \ dagger A + {1 \ over 2} \ right) \ hbar \ omega \\ N_ {op} & = & A ^ \ dagger A \\ H & = & (N_ {op} + {1 \ over 2}) \ hbar \ omega \\ \ end {eqnarray *}

 

Aumentando e diminuindo constantes

Sabemos que aumenta a energia de um estado próprio, mas não sabemos que coeficiente ele produz diante do novo estado. \ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroup

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} A ^ \ dagger u_n = Cu_ {n + 1} \ egroup \ end {displaymath}

 

 

Podemos calcular o coeficiente usando nossos operadores.

 

\ begin {eqnarray *} \ vert C \ vert ^ 2 & = & \ langle A ^ \ punhal u_n \ vert A ^ \ punhal u_n \ ran ... ...]) u_n \ vert u_n \ rangle = (n + 1) \ langle u_n \ vert u_n \ rangle = n + 1 \\ \ end {eqnarray *}

 

 

 

 

O efeito do operador de levantamento é

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} A ^ \ punhal u_n = \ sqrt {n + 1} u_ {n + 1}. \ egroup \ end {displaymath}

 

 

Da mesma forma, o efeito do operador de redução é

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} Au_n = \ sqrt {n} u_ {n-1}. \ egroup \ end {displaymath}

 

 

Essas são equações extremamente importantes para qualquer cálculo no problema HO.

Também podemos escrever qualquer autoestado de energia em termos do estado fundamental e do operador de aumento .

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} u_n = {1 \ over \ sqrt {n!}} (A ^ \ dagger) ^ nu_0 \ egroup \ end {displaymath}
 

Valores de expectativa de \ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroupe \ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup

É importante perceber que podemos apenas usar a definição de \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroup escrever \ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroupe \ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroupem termos dos operadores de subida e descida.

 

\ begin {eqnarray *} x & = & \ sqrt {\ hbar \ over 2m \ omega} (A + A ^ \ dagger) \\ p & = & - i \ sqrt {m \ hbar \ omega \ over 2} (AA ^ \ dagger) \\ \ end {eqnarray *}

 


 

Isso permitirá qualquer cálculo.

* Exemplo: O valor esperado de $ x $para qualquer autoestado de energia é zero. *
* Exemplo: O valor esperado de $ p $para qualquer autoestado de energia é zero. *
* Exemplo: O valor esperado de $ x $no estado . $ {1 \ over \ sqrt {2}} (u_0 + u_1) $*
* Exemplo: O valor esperado de para qualquer autoestado de energia é . $ {1 \ over 2} m \ omega ^ 2x ^ 2 $ $ {1 \ over 2} \ left (n + {1 \ over 2} \ right) \ hbar \ omega $*
* Exemplo: O valor esperado de $ {p ^ 2 \ sobre 2m} $para qualquer autoestado de energia é . $ {1 \ over 2} \ left (n + {1 \ over 2} \ right) \ hbar \ omega $*
* Exemplo: O valor esperado de $ p $em função do tempo para o estado $ \ psi (t = 0) = {1 \ over \ sqrt {2}} (u_1 + u_2) $é . $ - \ sqrt {m \ hbar \ omega} \ sin (\ omega t) $*

A função de onda para o estado fundamental HO

A equação

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} Au_0 = 0 \ egroup \ end {displaymath}

 

pode ser usado para encontrar a função de onda do estado fundamental . Escreva \ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroupem termos de \ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroupe \ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroupe experimente.

 

\ begin {eqnarray *} \ left (\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar} x + i {p \ over \ sqrt {2m \ hbar \ omega} ... ... dx} \ right) u_0 = 0 \\ {du_0 \ over dx} = - {m \ omega x \ over \ hbar} u_0 \\ \ end {eqnarray *}

 


 

Esta equação diferencial de primeira ordem pode ser resolvida para obter a função de onda.

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} u_0 = Ce ^ {- m \ omega x ^ 2/2 \ hbar}. \ egroup \ end {displaymath}

 

Poderíamos continuar com o operador de levantamento para obter estados animados.

 

\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ sqrt {1} u_1 = \ left (\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar} x- \ sqrt {\ hbar \ over 2m \ omega} {d \ sobre dx} \ right) u_0 \ egroup \ end {displaymath}

 

Normalmente, não precisaremos das funções de onda reais para nossos cálculos.