Operadores em um espaço vetorial

Revisão dos operadores

Primeiro, uma pequena revisão. Lembre-se de que as funções quadradas integráveis formam um espaço vetorial , muito parecido com o familiar espaço vetorial 3D.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} \ vec {r} = a \ vec {v_1} + b \ vec {v_2} \ egroup \ end {displaymath}$

no espaço 3D torna-se

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} \ vert \ psi \ rangle = \ lambda_1 \ vert \ psi_1 \ rangle + \ lambda_2 \ vert \ psi_2 \ rangle. \ egroup \ end {displaymath}$

O produto escalar é definido como

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ langle \ phi \ vert \ psi \ rangle = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty dx \; \ phi ^ * (x) \ psi (x) \ egroup \ end {displaymath}$

e muitas de suas propriedades podem ser facilmente deduzidas da integral.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} \ langle \ phi \ vert \ psi \ rangle ^ * = \ langle \ psi \ vert \ phi \ rangle \ egroup \ end {displaymath}$

Como no espaço 3D,

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} \ vec {a} \ cdot \ vec {b} \ leq \ vert a \ vert \; \ vert b \ vert \ egroup \ end {displaymath}$

a magnitude do produto escalar é limitada pela magnitude dos vetores.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ langle \ psi \ vert \ phi \ rangle \ leq \ sqrt {\ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle \ langle \ phi \ vert \ phi \ rangle} \ egroup \ end {displaymath}$

Isso é chamado de desigualdade de Schwartz .

Os operadores são associativos, mas não comutativos.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} AB \ vert \ psi \ rangle = A (B \ vert \ psi \ rangle) = (AB) \ vert \ psi \ rangle \ egroup \ end {displaymath}$

Um operador transforma um vetor em outro vetor .

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ vert \ phi '\ rangle = O \ vert \ phi \ rangle \ egroup \ end {displaymath}$

Autofunções de operadores Hermitianos

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H \ vert i \ rangle = E_i \ vert i \ rangle \ egroup \ end {displaymath}$

formar um ortonormal

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} \ langle i \ vert j \ rangle = \ delta_ {ij} \ egroup \ end {displaymath}$

conjunto completo

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ vert \ psi \ rangle = \ sum \ limits_i \ langle i \ v ... ... \ sum \ limits_i \ vert i \ rangle \ langle i \ vert \ psi \ rangle. \ egroup \ end {displaymath}$

Observe que podemos simplesmente descrever o $\ bgroup \ color {black} $ j ^ {th} $ \ egroup$ estado próprio em $\ bgroup \ color {black} $ \ vert j \ rangle $ \ egroup$ .

Expandindo os vetores $\ bgroup \ color {black} $ \ vert \ phi \ rangle $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ \ vert \ psi \ rangle $ \ egroup$ ,

$\ begin {eqnarray *} \ vert \ phi \ rangle & = & \ sum \ limits_i b_i \ vert i \ rangle \\ \ vert \ psi \ rangle & = & \ sum \ limits_i c_i \ vert i \ rangle \\ \ end {eqnarray *}$

podemos pegar o produto escalar multiplicando os componentes, como no espaço 3D.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ langle \ phi \ vert \ psi \ rangle = \ sum \ limits_ib_i ^ * c_i \ egroup \ end {displaymath}$

A expansão em autofunções de energia é uma maneira muito boa de fazer o desenvolvimento de uma função de onda no tempo .

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ vert \ psi (t) \ rangle = \ sum \ limits_i \ langle i \ vert \ psi (0) \ rangle \ vert i \ rangle e ^ {- iE_it / \ hbar} \ egroup \ end {displaymath}$

A base dos estados de momentum definidos não está no espaço vetorial, mas podemos usar essa base para formar qualquer estado no espaço vetorial.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ vert \ psi \ rangle = {1 \ over \ sqrt {2 \ pi \ hbar}} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ phi (p ) \ vert p \ rangle \ egroup \ end {displaymath}$

Qualquer uma dessas amplitudes pode ser usada para definir o estado.

$\ begin {eqnarray *} c_i = \ langle i \ vert \ psi \ rangle \\ \ psi (x) = \ langle x \ vert \ psi \ rangle \\ \ phi (p) = \ langle p \ vert \ psi \ rangle \\ \ end {eqnarray *}$

Operadores de projeção e integridade $\ bgroup \ color {black} $ \ vert j \ rangle \ langle j \ vert $ \ egroup$

Agora avançamos um pouco com nossa compreensão dos operadores. Um vetor ket seguido por um vetor bra é um exemplo de operador. Por exemplo, o operador que projeta um vetor no $j ^ {th}$ estado próprio é

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} \ vert j \ rangle \ langle j \ vert \ egroup \ end {displaymath}$

Primeiro, o vetor bra aponta para o estado, dando o coeficiente de $\ bgroup \ color {black} $ \ vert j \ rangle $ \ egroup$ no estado, depois é multiplicado pelo vetor unitário $\ bgroup \ color {black} $ \ vert j \ rangle $ \ egroup$ , transformando-o novamente em um vetor, com o comprimento certo para ser uma projeção. Um operador mapeia um vetor em outro vetor, portanto, este é um operador.

A soma dos operadores de projeção é 1, se somarmos um conjunto completo de estados , como os autoestados de um operador Hermitiano.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle \ sum \ limits_i \ vert i \ rangle \ langle i \ vert = 1 $ \ egroup$

Essa é uma identidade extremamente útil para resolver problemas. Já pudemos ver isso na decomposição de $\ bgroup \ color {black} $ \ vert \ psi \ rangle $ \ egroup$ acima.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} \ vert \ psi \ rangle = \ sum \ limits_i \ vert i \ rangle \ langle i \ vert \ psi \ rangle. \ egroup \ end {displaymath}$

O mesmo é verdade para estados de momentum definidos.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty \ vert p \ rangle \ langle p \ vert dp = 1 $ \ egroup$

Podemos formar um operador de projeção em um subespaço .

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} P = \ sum \ limits_ {subespaço} \ vert i \ rangle \ langle i \ vert \ egroup \ end {displaymath}$

Podemos usar isso para projetar os estados de paridade ímpares, por exemplo.

Operadores Unitários

Os operadores unitários preservam um produto escalar.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ langle \ phi \ vert \ psi \ rangle = \ langle U \ phi \ vert U \ psi \ rangle = \ langle \ phi \ vert U ^ \ dagger U \ psi \ rangle \ egroup \ end {displaymath}$

Isso significa que

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} U ^ \ dagger U = 1. \ egroup \ end {displaymath}$

Os operadores unitários serão importantes para a representação matricial dos operadores. Isso nos permitirá mudar de uma base ortonormal para outra.

Um conjunto completo de operadores mutuamente comutantes

Se um operador comuta com $\ bgroup \ color {black} $ H $ \ egroup$ , podemos fazer autofunções simultâneas de energia e esse operador. Esta é uma ferramenta importante tanto para resolver o problema quanto para rotular as autofunções.

Um conjunto completo de operadores mutuamente comutantes nos permitirá definir um estado em termos dos números quânticos desses operadores. Normalmente, precisaremos de um número quântico para cada grau de liberdade do problema.

Por exemplo, o átomo de hidrogênio em três dimensões tem 3 coordenadas para o problema interno (o deslocamento do vetor entre o próton e o elétron). Precisaremos de três números quânticos para descrever o estado. Usaremos um índice de energia e dois números quânticos de momento angular para descrever os estados do hidrogênio. Os operadores se deslocarão todos uns com os outros. O átomo de hidrogênio também tem 3 coordenadas para a posição do átomo. Vamos pode usar $\ bgroup \ color {black} $ p_x $ \ egroup$ , $\ bgroup \ color {black} $ p_y $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ p_z $ \ egroup$ para descrever esse estado. Os operadores se deslocam entre si.

Se considerarmos também o spin do elétron no átomo de hidrogênio, descobriremos que precisamos adicionar mais um operador de comutação para rotular os estados e calcular as energias com precisão. Se também adicionarmos o spin do próton ao problema, ainda precisamos de mais um número quântico para descrever o estado.

Se for possível, identificar os operadores de deslocamento a serem usados antes de resolver o problema geralmente economizará tempo.

Princípio de incerteza para operadores que não viajam diariamente

Vamos agora derivar a relação de incerteza para operadores não comutantes $\ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ B $ \ egroup$ . Primeiro, dado um estado $\ bgroup \ color {black} $ \ psi $ \ egroup$ , a incerteza do Quadrado Médio na quantidade física representada é definida como

$\ begin {eqnarray *} (\ Delta A) ^ 2 & = & \ langle \ psi \ vert (A- \ langle A \ rangle) ^ 2 \ psi \ rang ... ... ângulo B \ rangle) ^ 2 \ psi \ rangle = \ langle \ psi \ vert V ^ 2 \ psi \ rangle \\ \ end {eqnarray *}$

onde definimos (apenas para manter nossas expressões pequenas)

$\ begin {eqnarray *} U & = & A- \ langle \ psi \ vert A \ psi \ rangle \\ V & = & B- \ langle \ psi \ vert B \ psi \ rangle. \\ \ end {eqnarray *}$

Uma vez que e são apenas constantes, observe que $\ bgroup \ color {black} $ \ langle A \ rangle $ \ egroup$ $\ bgroup \ color {black} $ \ langle B \ rangle $ \ egroup$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [U, V] = [A, B] \ egroup \ end {displaymath}$

OK, chega de definições.

Agora vamos nos concentrar para obter algumas informações sobre as incertezas. O produto escalar deve ser maior ou igual a zero. $\ bgroup \ color {black} $ U \ psi + i \ lambda V \ psi $ \ egroup$

$\ begin {eqnarray *} \ langle U \ psi + i \ lambda V \ psi \ vert U \ psi + i \ lambda V \ psi \ rangle \ ... ... t V \ psi \ rangle-i \ lambda \ langle V \ psi \ vert U \ psi \ rangle \ geq 0 \\ \ end {eqnarray *}$

Esta expressão contém as incertezas, então vamos identificá-las.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} (\ Delta A) ^ 2 + \ lambda ^ 2 (\ Delta B) ^ 2 + i \ lambda \ langle \ psi \ vert [U, V] \ vert \ psi \ rangle \ geq 0 \ egroup \ end {displaymath}$

Escolha a $\ bgroup \ color {black} $ \ lambda $ \ egroup$ para minimizar a expressão, para obter a desigualdade mais forte.

$\ begin {eqnarray *} {\ partial \ over \ partial \ lambda} = 0 \\ 2 \ lambda (\ Delta B) ^ 2 + i \ la ... ... {- i \ langle \ psi \ vert [ U, V] \ vert \ psi \ rangle \ over 2 (\ Delta B) ^ 2} \\ \ end {eqnarray *}$

Conecte isso $\ bgroup \ color {black} $ \ lambda $ \ egroup$ .

$\ begin {eqnarray *} (\ Delta A) ^ 2- {1 \ over 4} {\ langle \ psi \ vert [U, V] \ vert \ psi \ rangle ^ ... ... \ rangle ^ 2 = \ langle \ psi \ vert {i \ over 2} [U, V] \ vert \ psi \ rangle ^ 2 \\ \ end {eqnarray *}$

Esse resultado é a incerteza para os operadores que não viajam diariamente .

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle (\ Delta A) (\ Delta B) \ geq {i \ over 2} \ langle [A, B] \ rangle $ \ egroup$

Se o comutador for uma constante, como no caso de $\ bgroup \ color {black} $ [p, x] $ \ egroup$ , os valores esperados podem ser removidos.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} (\ Delta A) (\ Delta B) \ geq {i \ over 2} [A, B] \ egroup \ end {displaymath}$

Para momentum e posição, isso está de acordo com o princípio da incerteza que conhecemos.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle (\ Delta p) (\ Delta x) \ geq {i \ over 2} \ langle [p, x] \ rangle = {\ hbar \ over 2} $ \ egroup$

(Observe que poderíamos ter simplificado a prova apenas declarando que escolhemos pontilhar em si mesmo e exigir que seja positivo. Não seria claro que essa era a condição mais forte que poderíamos obter.) $\ bgroup \ color {black} $ (U + {i \ langle [U, V] \ rangle \ over 2 (\ Delta B) ^ 2} V) \ psi $ \ egroup$

Tempo derivado dos valores de expectativa

Queremos calcular a derivada de tempo do valor esperado de um operador $\ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroup$ no estado $\ bgroup \ color {black} $ \ psi $ \ egroup$ . Pensando no integral, isso tem três termos.

$\ begin {eqnarray *} {d \ over dt} \ left \ langle \ psi \ left \ vert A \ right \ vert \ psi \ right \ r ... ... \ vert {\ parcial A \ over \ partial t } \ right \ vert \ psi \ right \ rangle \\ \ end {eqnarray *}$

Este é um resultado geral importante para a derivada temporal dos valores esperados .

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle {d \ over dt} \ left \ langle \ psi \ left \ vert A \ right ... ... le \ psi \ left \ vert {\ partial A \ over \ partial t} \ right \ vert \ psi \ right \ rangle $ \ egroup$

que se torna simples se o próprio operador não depende explicitamente do tempo.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {d \ over dt} \ left \ langle \ psi \ left \ vert A \ r ... ... t \ langle \ psi \ left \ vert [H, A ] \ right \ vert \ psi \ right \ rangle \ egroup \ end {displaymath}$

Os valores de expectativa dos operadores que comutam com o hamiltoniano são constantes do movimento.

Podemos aplicar isso para verificar se o valor esperado de $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ se comporta como esperaríamos para uma partícula clássica.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle {d \ left \ langle x \ right \ rangle \ over dt} = {i \ ove ... ... p ^ 2 \ over 2m}, x \ right] \ right \ rangle = \ left \ langle {p \ over m} \ right \ rangle $ \ egroup$

Este é um bom resultado. Isso é chamado de Teorema de Ehrenfest .

Para momentum,

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle {d \ langle p \ rangle \ over dt} = {i \ over \ hbar} \ lef ... ... er dx} \ right] \ right \ rangle = - \ left \ langle {dV (x) \ over dx} \ right \ rangle $ \ egroup$

que o Sr. Newton nos disse há muito tempo.

O Operador de Desenvolvimento de Tempo

Na verdade, podemos fazer um operador que faz o desenvolvimento temporal de uma função de onda . Acabamos de fazer a solução exponencial simples para a equação de Schrödinger usando operadores.

$\ begin {eqnarray *} i \ hbar {\ partial \ psi \ over \ partial t} = H \ psi \\ \ end {eqnarray *}$

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle \ psi (t) = e ^ {- iHt / \ hbar} \ psi (0) $ \ egroup$

onde $\ bgroup \ color {black} $ H $ \ egroup$ está a operadora. Podemos expandir esse exponencial para entender um pouco seu significado.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} e ^ {- iHt / \ hbar} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty {(- iHt / \ hbar) ^ n \ over n!} \ egroup \ end {displaymath}$

Esta é uma série infinita contendo todos os poderes do Hamiltoniano. Em alguns casos, pode ser facilmente calculado.

$\ bgroup \ color {black} $ e ^ {- iHt / \ hbar} $ \ egroup$ é o operador de desenvolvimento de tempo. Leva um estado de tempo 0 a tempo $\ bgroup \ color {black} $ t $ \ egroup$ .

The Heisenberg Picture

Para começar, vamos calcular o valor esperado de um operador $\ bgroup \ color {black} $ B $ \ egroup$ .

$\ begin {eqnarray *} \ langle \ psi (t) \ vert B \ vert \ psi (t) \ rangle & = & \ langle e ^ {- iHt / \ ... ... e \ psi (0) \ vert e ^ {iHt / \ hbar} Be ^ {- iHt / \ hbar} \ vert \ psi (0) \ rangle \\ \ end {eqnarray *}$

De acordo com nossas regras, podemos multiplicar os operadores antes de usá-los. Podemos então definir o operador que depende do tempo.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle B (t) = e ^ {iHt / \ hbar} Be ^ {- iHt / \ hbar} $ \ egroup$

Se usarmos este operador, não precisamos fazer o desenvolvimento de tempo das funções de onda!

Isso é chamado de Imagem de Heisenberg . Nele, os operadores evoluem com o tempo e as funções de onda permanecem constantes.

A imagem de Schrödinger usual tem os estados evoluindo e os operadores constantes.

Agora podemos calcular a derivada de tempo de um operador.

$\ begin {eqnarray *} {d \ over dt} B (t) & = & {iH \ over \ hbar} e ^ {iHt / \ hbar} Be ^ {- iHt / \ hbar} -e ... .. . \ hbar} e ^ {iHt / \ hbar} [H, B] e ^ {- iHt / \ hbar} = {i \ over \ hbar} [H, B (t)] \\ \ end {eqnarray *}$

É governado pelo comutador com o hamiltoniano.

Como exemplo, podemos olhar para os operadores HO $\ bgroup \ color {black} $ A $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ A ^ \ dagger $ \ egroup$ . Já calculamos o comutador.

$\ begin {eqnarray *} [H, A] = - \ hbar \ omega A \\ {dA \ over dt} = - {i \ over \ hbar} \ hbar \ omega A = -i \ omega A \\ \ end {eqnarray *}$

Podemos integrar isso.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} A (t) = e ^ {- i \ omega t} A (0) \ egroup \ end {displaymath}$

Pegue o conjugado de Hermit.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} A ^ \ dagger (t) = e ^ {i \ omega t} A ^ \ dagger (0) \ egroup \ end {displaymath}$

Podemos combiná-los para obter os operadores de momentum e posição na imagem de Heisenberg.

$\ begin {eqnarray *} p (t) & = & p (0) \ cos (\ omega t) -m \ omega x (0) \ sin (\ omega t) \\ x (t) & = & x (0) \ cos (\ omega t) + {p (0) \ over m \ omega} \ sin (\ omega t) \\ \ end {eqnarray *}$

Exemplos

Exemplo de Desenvolvimento de Tempo

Comece no estado.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ psi (t = 0) = {1 \ over \ sqrt {2}} (u_1 + u_2) \ egroup \ end {displaymath}$

Na foto de Schrödinger,

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ psi (t) = {1 \ over \ sqrt {2}} (u_1e ^ {- i {3 \ over ... ... sqrt {2}} e ^ {- i {3 \ over 2} \ omega t} (u_1 + e ^ {- i \ omega t} u_2) \ egroup \ end {displaymath}$

Podemos calcular o valor esperado de $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ .

$\ begin {eqnarray *} \ langle \ psi \ vert x \ vert \ psi \ rangle & = & {1 \ over 2} \ sqrt {\ hbar \ ov ... ... ega t} \ right) \\ & = & \ sqrt {\ hbar \ over m \ omega} \ cos (\ omega t) \\ \ end {eqnarray *}$

Na foto de Heisenberg

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ langle \ psi \ vert x (t) \ vert \ psi \ rangle = {1 ... ... {- i \ omega t} A + e ^ {i \ omega t} A ^ \ dagger \ vert \ psi \ rangle \ egroup \ end {displaymath}$