Mecânica Quântica para Duas Partículas

Podemos saber o estado de duas partículas ao mesmo tempo. As posições e momentos da partícula 2 comutam com as posições e momentos da partícula 1.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [x_1, x_2] = [p_1, p_2] = [x_1, p_2] = [x_2, p_1] = 0 \ egroup \ end {displaymath}$

Os termos de energia cinética no hamiltoniano são independentes. Pode haver uma interação entre as duas partículas no potencial. O hamiltoniano para duas partículas pode ser facilmente escrito.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = {p_1 ^ 2 \ over 2m_1} + {p_2 ^ 2 \ over 2m_2} + V (x_1, x_2) \ egroup \ end {displaymath}$

Freqüentemente, o potencial dependerá apenas da diferença nas posições das duas partículas .

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} V (x_1, x_2) = V (x_1-x_2) \ egroup \ end {displaymath}$

Isso significa que o hamiltoniano geral tem uma simetria translacional . Vamos examinar uma tradução infinitesimal em $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ . A equação de Schrödinger original

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H \ psi (x_1, x_2) = E \ psi (x_1, x_2) \ egroup \ end {displaymath}$

transforma-se em

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H \ psi (x_1 + dx, x_2 + dx) = E \ psi (x_1 + dx, x_2 + dx) \ egroup \ end {displaymath}$

que pode ser expandido por Taylor

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H \ left (\ psi (x_1, x_2) + {\ partial \ psi \ over ... ... rtial x_1} dx + {\ partial \ psi \ over \ partial x_2} dx \ right). \ egroup \ end {displaymath}$

Podemos escrever as derivadas em termos do operador de momento total.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} p = p_1 + p_2 = {\ hbar \ over i} \ left ({\ partial \ over \ partial x_1} + {\ partial \ over \ partial x_2} \ right) \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H \ psi (x_1, x_2) + {i \ over \ hbar} Hp \; \ psi (x_1, x_2) dx = E \ psi (x_1, x_2) + { i \ over \ hbar} Ep \; \ psi (x_1, x_2) dx \ egroup \ end {displaymath}$

Subtrair a equação de Schrodinger inicial e comutar $\ bgroup \ color {black} $ E $ \ egroup$ através $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ .

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} Hp \; \ psi (x_1, x_2) = Ep \; \ psi (x_1, x_2) = pH \ psi (x_1, x_2) \ egroup \ end {displaymath}$

Nós provamos que

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [H, p] = 0 \ egroup \ end {displaymath}$

se o hamiltoniano tem simetria translacional. O momento é uma constante do movimento . O momentum é conservado. Podemos ter autofunções simultâneas do momento total e da energia .

Mecânica Quântica em Três Dimensões

Nós generalizamos a Mecânica Quântica para incluir mais de uma partícula. Agora queremos incluir mais de uma dimensão também.

Dimensões adicionais são essencialmente independentes, embora possam ser acopladas por meio do potencial. As coordenadas e os momentos de diferentes dimensões comutam. O fato de os comutadores serem zero pode ser calculado a partir dos operadores que conhecemos. Por exemplo,

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [x, p_y] = [x, {\ hbar \ over i} {\ partial \ over \ partial y}] = 0. \ egroup \ end {displaymath}$

A energia cinética pode ser simplesmente adicionada e o potencial agora depende de 3 coordenadas. O Hamiltoniano em 3D é

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = {p_x ^ 2 \ over 2m} + {p_y ^ 2 \ over 2m} + {p_z ^ 2 ... ... r 2m} + V (\ vec {r}) = - {\ hbar ^ 2 \ over 2m} \ nabla ^ 2 + V (\ vec {r}). \ egroup \ end {displaymath}$

Esta extensão é realmente muito simples.

Duas partículas em três dimensões

A generalização do hamiltoniano para três dimensões é simples.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = {\ vec {p} _1 ^ 2 \ over 2m} + {\ vec {p} _2 ^ 2 \ over 2m} + V (\ vec {r} _1 - \ vec {r} _2) \ egroup \ end {displaymath}$

Definimos a diferença vetorial entre as coordenadas das partículas.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle \ vec {r} \ equiv \ vec {r} _1- \ vec {r} _2 $ \ egroup$

Também definimos a posição vetorial do centro de massa .

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle \ vec {R} \ equiv {m_1 \ vec {r} _1 + m_2 \ vec {r} _2 \ over m_1 + m_2} $ \ egroup$

Usaremos a regra da cadeia para transformar nosso hamiltoniano. Como um exemplo simples, se estivéssemos trabalhando em uma dimensão, poderíamos usar a regra da cadeia como esta.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {d \ over dr_1} = {\ parcial r \ over \ parcial r _... ... + {\ parcial R \ over \ parcial r_1} {\ parcial \ over \ parcial R} \ egroup \ end {displaymath}$

Teríamos em três dimensões.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ vec {\ nabla} _1 = \ vec {\ nabla} _r + {m_1 \ over m_1 + m_2} \ vec {\ nabla} _R \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ vec {\ nabla} _2 = - \ vec {\ nabla} _r + {m_2 \ over m_1 + m_2} \ vec {\ nabla} _R \ egroup \ end {displaymath}$

Colocando isso no hamiltoniano , obtemos

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = {- \ hbar ^ 2 \ over 2m_1} \ left [\ vec {\ nabla} _... ... 1 \ over m_1 + m_2} \ vec { \ nabla} _r \ cdot \ vec {\ nabla} _R \ direita] \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ qquad + {- \ hbar ^ 2 \ over 2m_2} \ left [\ vec {\ n ... ... m_2} \ vec {\ nabla} _r \ cdot \ vec {\ nabla} _R \ right] + V (\ vec {r}) \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = - \ hbar ^ 2 \ left [\ left ({1 \ over 2m_1} + {1 \ o ... ... 2 \ over 2 (m_1 + m_2 ) ^ 2} \ vec {\ nabla} _R ^ 2 \ right] + V (\ vec {r}). \ Egroup \ end {displaymath}$

Definindo a massa reduzida $\ bgroup \ color {black} $ \ mu $ \ egroup$

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle {1 \ over \ mu} = {1 \ over m_1} + {1 \ over m_2} $ \ egroup$

e a massa total

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle M = m_1 + m_2 $ \ egroup$

Nós temos.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle H = - {\ hbar ^ 2 \ over 2 \ mu} \ vec {\ nabla} _r ^ 2 - {\ hbar ^ 2 \ over 2M} \ vec {\ nabla} _R ^ 2 + V (\ vec {r}) $ \ egroup$

O hamiltoniano realmente se divide em dois problemas : o movimento do centro de massa como uma partícula livre

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = {- \ hbar ^ 2 \ over 2M} \ vec {\ nabla} _R ^ 2 \ egroup \ end {displaymath}$

e a interação entre as duas partículas .

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle H = - {\ hbar ^ 2 \ over 2 \ mu} \ vec {\ nabla} _r ^ 2 + V (\ vec {r}) $ \ egroup$

Esta é exatamente a mesma separação que faríamos na física clássica.

Partículas Idênticas

Não é possível dizer a diferença entre dois elétrons. Eles são idênticos em todos os sentidos. Conseqüentemente, existe uma clara simetria na natureza sob o intercâmbio de quaisquer dois elétrons .

Nós definimos o operador de intercâmbio $\ bgroup \ color {black} $ P_ {12} $ \ egroup$ . Por nossa simetria, este operador comuta com, de $\ bgroup \ color {black} $ H $ \ egroup$ modo que podemos ter autofunções simultâneas de energia e intercâmbio.

Se trocarmos duas vezes, voltamos ao estado original,

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} P_ {12} \ psi (x_1, x_2) = \ psi (x_2, x_1) \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} P_ {12} P_ {12} \ psi (x_1, x_2) = \ psi (x_1, x_2) \ egroup \ end {displaymath}$

portanto, os autovalores possíveis do operador de intercâmbio são apenas +1 e -1 .

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} P_ {12} \ psi_ \ pm = \ pm \ psi \ egroup \ end {displaymath}$

Acontece que ambas as possibilidades existem na natureza. Algumas partículas, como o elétron, sempre têm o número quântico -1. Eles são partículas de spin meia e são chamados de férmions . A função de onda geral muda de sinal sempre que trocamos qualquer par de férmions. Algumas partículas, como o fóton, sempre têm o número quântico +1. Eles são partículas de spin inteiras, chamadas de bósons .

Há uma distinção importante entre férmions e bósons que podemos derivar da simetria de intercâmbio. Se quaisquer dois férmions estiverem no mesmo estado, a função de onda deve ser zero para ser ímpar no intercâmbio.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ psi = u_i (x_1) u_j (x_2) \ rightarrow u_i (x_1) u_j (x_2) -u_j (x_1) u_i (x_2) \ egroup \ end {displaymath}$

(Normalmente escrevemos um estado como quando o que queremos dizer é a versão anti-simetrizada desse estado .) Assim, dois férmions não podem estar no mesmo estado. Isso geralmente é chamado de princípio de exclusão de Pauli . $\ bgroup \ color {black} $ u_i (x_1) u_j (x_2) $ \ egroup$ $\ bgroup \ color {black} $ u_i (x_1) u_j (x_2) -u_j (x_1) u_i (x_2) $ \ egroup$

Na verdade, a diferença de simetria de intercâmbio faz com que os férmions se comportem como matéria e os bósons como energia. O fato de que dois férmions não podem estar no mesmo estado significa que eles ocupam espaço, ao contrário dos bósons. Também está relacionado ao fato de que os férmions só podem ser criados em conjunto com os anti-férmions. Eles devem ser feitos em pares . Os bósons podem ser feitos individualmente e são suas próprias antipartículas, como pode ser visto de qualquer luz.