Os operadores serão usados para nos ajudar a derivar uma equação diferencial que nossas funções de onda devem satisfazer. Eles também serão usados em quase todos os cálculos da Física Quântica.

Um exemplo de um operador linear é um operador diferencial simples como , o qual entendemos diferenciar tudo à direita dele com respeito a $\ bgroup \ color {black} $ {\ partial \ over \ partial x} $ \ egroup$ . $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$

Operadores no espaço de posição

Para encontrar operadores para variáveis físicas no espaço de posição, examinaremos as funções de onda com momento definido. Nosso estado de momentum definido $\ bgroup \ color {black} $ p_0 $ \ egroup$ (e energia definida $\ bgroup \ color {black} $ E_0 $ \ egroup$ ) é

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} u_ {p0} (x, t) = {1 \ over \ sqrt {2 \ pi \ hbar}} e ^ {i (p_0x-E_0t) / \ hbar}. \ egroup \ end {displaymath}$

Podemos construir qualquer outro estado a partir da superposição desses estados usando a transformada de Fourier.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ psi (x, t) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ phi (p) u_p (x, t) dp \ egroup \ end {displaymath}$

O Operador Momentum

Determinamos o operador de momentum exigindo que, quando operamos com $\ bgroup \ color {black} $ p_x ^ {(op)} $ \ egroup$ on $\ bgroup \ color {black} $ u_ {p0} (x, t) $ \ egroup$ , obtemos $\ bgroup \ color {black} $ p_0 $ \ egroup$ vezes a mesma função de onda.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} p ^ {(op)} u_ {p0} (x, t) = p_0u_ {p0} (x, t) \ egroup \ end {displaymath}$

Isso significa que, para esses estados de momentum definidos, multiplicar por $\ bgroup \ color {black} $ p_x ^ {(op)} $ \ egroup$ é o mesmo que multiplicar pela variável $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ . Descobrimos que isso é verdade para o seguinte operador de momento .

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle p ^ {(op)} = {\ hbar \ over i} {\ partial \ over \ partial x} $ \ egroup$

Podemos verificar que isso funciona por cálculo explícito.

Se pegarmos nosso operador de momentum e agirmos em um estado arbitrário ,

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} p ^ {(op)} \ psi (x, t) = p ^ {(op)} \ int \ limits _ {- \ ... ... p = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ phi (p) p u_p (x, t) dp \ egroup \ end {displaymath}$

ele nos dá o direito $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ para cada termo na integral. Isso nos permitirá calcular os valores esperados para qualquer variável que possamos representar por um operador.

O operador de energia

Podemos deduzir e verificar o operador de energia da mesma maneira.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle E ^ {(op)} = i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} $ \ egroup$

O Operador de Posição

E sobre o operador de posição , $\ bgroup \ color {black} $ x ^ {(op)} $ \ egroup$ ? A resposta é simplesmente

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle x ^ {(op)} = x $ \ egroup$

quando estamos trabalhando no espaço de posição com (como vimos acima). $\ bgroup \ color {black} $ u_ {p0} (x, t) = {1 \ over \ sqrt {2 \ pi \ hbar}} e ^ {i (p_0x-E_0t) / \ hbar} $ \ egroup$

O operador hamiltoniano

Podemos desenvolver outros operadores usando os básicos. Usaremos o operador hamiltoniano que, para nossos propósitos, é a soma das energias cinética e potencial. Este é o caso não relativístico.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = {p ^ 2 \ over 2m} + V (x) \ egroup \ end {displaymath}$

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle H ^ {(op)} = - {\ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ parcial ^ 2 \ over \ parcial x ^ 2} + V (x) $ \ egroup$

Uma vez que a energia potencial depende apenas de $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ , é fácil de usar. Posteriormente, os operadores de momento angular serão simplesmente calculados a partir dos operadores de posição e momento.

Operadores em espaço de impulso

Se quisermos trabalhar no espaço de momento , precisamos olhar para os estados de posição definida para encontrar nossos operadores. O estado (no espaço de momento) com posição definida $\ bgroup \ color {black} $ x_0 $ \ egroup$ é

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} v_ {x0} (p) = {1 \ over \ sqrt {2 \ pi \ hbar}} e ^ {- ipx_0 / \ hbar} \ egroup \ end {displaymath}$

Os operadores são

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle x ^ {(op)} = i \ hbar {\ partial \ over \ partial p} $ \ egroup$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} p ^ {(op)} = p. \ egroup \ end {displaymath}$

A $\ bgroup \ color {black} $ (op) $ \ egroup$ notação usada acima geralmente é eliminada. Se virmos a variável $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ , o uso do operador está implícito (exceto no estado escrito em termos de $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ similar $\ bgroup \ color {black} $ \ phi (p) $ \ egroup$ ).

Gasiorowicz Capítulo 3

Griffiths não cobre isso.

Cohen-Tannoudji et al. Capítulo

Expectativa de Valores

Os operadores nos permitem calcular o valor esperado de alguma grandeza física dada a função de onda. Se uma partícula está no estado $\ bgroup \ color {black} $ \ psi (x, t) $ \ egroup$ , a maneira normal de calcular o valor esperado de $\ bgroup \ color {black} $ f (x) $ \ egroup$ é

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ langle f (x) \ rangle_ \ psi = \ int \ limits _ {-... ... = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty \ psi ^ * (x) \ psi (x) f (x) dx. \ egroup \ end {displaymath}$

Podemos alternar $\ bgroup \ color {black} $ f (x) $ \ egroup$ antes de $\ bgroup \ color {black} $ \ psi $ \ egroup$ antecipar o uso de operadores lineares.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ langle f (x) \ rangle_ \ psi = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty \ psi ^ * (x) f (x) \ psi (x ) dx \ egroup \ end {displaymath}$

Se a variável que desejamos calcular o valor esperado de (como $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ ) não é uma função simples de $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ , deixe seu operador agir $\ bgroup \ color {black} $ \ psi (x) $ \ egroup$ . O valor esperado do estado $\ psi$ é

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle \ langle p \ rangle_ \ psi = \ langle \ psi \ vert p \ vert \ psi \ rangle = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty \ psi ^ * (x ) p ^ {(op)} \ psi (x) dx $ \ egroup$

A notação Dirac Bra-ket mostrada acima é uma maneira conveniente de representar o valor esperado de uma variável dado algum estado.

* Exemplo: uma partícula está no estado . Qual é o valor da expectativa de ? $\ psi (x) = \ left ({1 \ over 2 \ pi \ alpha} \ right) ^ {1/4} e ^ {ik_0x} e ^ {- {x ^ 2 \ over 4 \ alpha}}$ *

Para qualquer quantidade física $\ bgroup \ color {black} $ v $ \ egroup$ , o valor esperado de $\ bgroup \ color {black} $ v $ \ egroup$ em um estado arbitrário $\ bgroup \ color {black} $ \ psi $ \ egroup$ é

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ langle \ psi \ vert v \ vert \ psi \ rangle = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty \ psi ^ * (x) v ^ {(op )} \ psi (x) dx \ egroup \ end {displaymath}$

Os valores esperados das quantidades físicas devem ser reais .

Gasiorowicz Capítulo 3

Griffiths Capítulo 1

Cohen-Tannoudji et al. Capítulo

Notação Dirac Bra-ket

Um estado com momentum definido $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ . Um estado com posição definida . O `` produto escalar '' entre dois estados abstratos e . $\ bgroup \ color {black} $ \ vert p \ rangle $ \ egroup$
$\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ $\ bgroup \ color {black} $ \ vert x \ rangle $ \ egroup$
$\ bgroup \ color {black} $ \ psi_1 $ \ egroup$ $\ bgroup \ color {black} $ \ psi_2 $ \ egroup$

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle \ langle \ psi_1 \ vert \ psi_2 \ rangle = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty \ psi_1 ^ * \ psi_2 dx $ \ egroup$

Este produto escalar projeta o estado $\ bgroup \ color {black} $ \ psi_2 $ \ egroup$ para $\ bgroup \ color {black} $ \ psi_1 $ \ egroup$ e representa a amplitude de ir de $\ bgroup \ color {black} $ \ psi_2 $ \ egroup$ para $\ bgroup \ color {black} $ \ psi_1 $ \ egroup$ .

Para encontrar a amplitude de probabilidade de nossa partícula em qualquer posição $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ , pontilhamos o estado de definido $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ em nosso estado $\ bgroup \ color {black} $ \ psi $ \ egroup$ . $\ bgroup \ color {black} $ \ psi (x) = \ langle x \ vert \ psi \ rangle $ \ egroup$

Para encontrar a amplitude de probabilidade de nossa partícula ter um momento $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ , pontilhamos o estado de definido $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ em nosso estado $\ bgroup \ color {black} $ \ psi $ \ egroup$ . $\ bgroup \ color {black} $ \ phi (p) = \ langle p \ vert \ psi \ rangle $ \ egroup$

Comutadores

Operadores (ou variáveis na mecânica quântica) não necessariamente comutam. Podemos ver nosso primeiro exemplo disso agora que temos alguns operadores. Nós definimos o comutador para ser

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle [p, x] \ equiv px-xp $ \ egroup$

(usando $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ como exemplos.)

Vamos agora calcular o comutador entre $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ . Por $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ ser representado por um operador diferencial, devemos fazer isso com cuidado. Vamos pensar no comutador também como um operador (diferencial), como geralmente será. Para garantir que manteremos tudo de que precisamos, calcularemos e removeremos o no final para ver apenas o comutador. $\ bgroup \ color {black} $ {\ partial \ over \ partial x} $ \ egroup$ $\ bgroup \ color {black} $ [p, x] \ psi (x) $ \ egroup$ $\ bgroup \ color {black} $ \ psi (x) $ \ egroup$

$\ begin {eqnarray *} [p, x] \ psi (x) & = & px \ psi (x) -xp \ psi (x) = {\ hbar \ over i} {\ partial \ ove ... ... \ parcial \ psi (x) \ over \ partial x} \ right) = {\ hbar \ over i} \ psi (x) \\ \ end {eqnarray *}$

Então, removendo o $\ bgroup \ color {black} $ \ psi (x) $ \ egroup$ que usamos para fins computacionais, obtemos o comutador.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle [p, x] = {\ hbar \ over i} $ \ egroup$

Mais tarde, aprenderemos a derivar a relação de incerteza para duas variáveis de seu comutador. Variáveis físicas com comutador zero não têm princípio de incerteza e podemos conhecer os dois ao mesmo tempo.

Também usaremos comutadores para resolver vários problemas importantes.

Podemos calcular o mesmo comutador no espaço de momento .

$\ begin {eqnarray *} [p, x] \ phi & = & [p, i \ hbar {d \ over dp}] \ phi = i \ hbar \ left (p {d \ over dp} \ ... .. . = i \ hbar (- \ phi) = {\ hbar \ over i} \ phi \\ {[p, x]} & = & {\ hbar \ over i} \\ \ end {eqnarray *}$

O comutador é o mesmo em qualquer representação.

* Exemplo: calcule o comutador . *
* Exemplo: Calcule o comutador . *
* Exemplo: Calcule o comutador . *
* Exemplo: Calcule o comutador dos operadores de momento angular . *

Gasiorowicz Capítulo 3

Griffiths Capítulo 3

Cohen-Tannoudji et al. Capítulo

Derivações e Cálculos

Operador de verificação de impulso

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} p ^ {(op)} {1 \ over \ sqrt {2 \ pi \ hbar}} e ^ {i (p_0x ... ... parcial x} {1 \ over \ sqrt {2 \ pi \ hbar}} e ^ {i (p_0x-E_0t) / \ hbar} \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {1 \ over \ sqrt {2 \ pi \ hbar}} {\ hbar \ over i} {ip ... ... hbar} = p_0 {1 \ over \ sqrt {2 \ pi \ hbar}} e ^ {i (p_0x-E_0t) / \ hbar} \ egroup \ end {displaymath}$

Verify Energy Operator

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}E^{(op)}{1\over\sqrt{2\pi\hbar}}e^{i(p_0x... ...pi\hbar}}i\hbar {-iE_0\over \hbar}e^{i(p_0x-E_0t)/\hbar}\egroup\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}=E_0 {1\over\sqrt{2\pi\hbar}}e^{i(p_0x-E_0t)/\hbar}\egroup\end{displaymath}$

Valor de expectativa de momentum em um determinado estado

Uma partícula está no estado . Qual é o valor da expectativa de ? $\ bgroup \ color {black} $ \ psi (x) = \ left ({1 \ over 2 \ pi \ alpha} \ right) ^ {1/4} e ^ {ik_0x} e ^ {- {x ^ 2 \ mais de 4 \ alpha}} $ \ egroup$ $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$

Usaremos o operador momentum para obter esse resultado.

$\ begin {eqnarray *} \ langle p \ rangle_ \ psi & = & \ langle \ psi \ vert p \ vert \ psi \ rangle = \ ... ... 2 \ alpha}} - {2x \ over 4 \ alpha } e ^ {- {x ^ 2 \ over 2 \ alpha}} \ right) dx \\ \ end {eqnarray *}$

O segundo termo dá zero porque a integral é estranha $\ bgroup \ color {black} $ x = 0 $ \ egroup$ .

$\ begin {eqnarray *} \ langle \ psi \ vert p \ vert \ psi \ rangle & = & \ left ({1 \ over 2 \ pi \ alph ... ... pi \ alpha} \ right) ^ {1 / 2} {\ hbar k_0} \ sqrt {2 \ pi \ alpha} = \ hbar k_0 \\ \ end {eqnarray *}$

Excelente.

Comutador de $\ bgroup \ color {black} $ E $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ t $ \ egroup$

Mais uma vez, use a muleta de manter uma função de onda à direita para evitar erros.

$\ begin {eqnarray *} [E, t] \ psi (x, t) & = & \ left (i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} t-ti \ hba ... ... rtial \ over \ parcial t} \ direita) \ psi (x, t) \\ & = & i \ hbar \ psi (x, t) \\ \ end {eqnarray *}$

Removendo a função de onda, temos o comutador.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [E, t] = i \ hbar \ egroup \ end {displaymath}$

Comutador de $\bgroup\color{black}$E$\egroup$ e $\bgroup\color{black}$x$\egroup$

Mais uma vez, use a muleta de manter uma função de onda à direita para evitar erros.

$\ begin {eqnarray *} [E, x] \ psi (x, t) & = & \ left (i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} x-xi \ hba ... ... ial t} -i \ hbar x {\ partial \ over \ partial t} \ right) \ psi (x, t) = 0 \\ \ end {eqnarray *}$

Desde então . $\ bgroup \ color {black} $ {\ partial x \ over \ partial t} = 0 $ \ egroup$

Comutador de $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ x ^ n $ \ egroup$

Podemos usar o comutador $\ bgroup \ color {black} $ [p, x] $ \ egroup$ para nos ajudar. Lembre-se disso $\ bgroup \ color {black} $ px = xp + [p, x] $ \ egroup$ .

$\ begin {eqnarray *} [p, x ^ n] & = & px ^ nx ^ np \\ & = & (px) x ^ {n-1} -x ^ np \\ & = & xpx ^ {n-1} + [p ... ... p, x] x ^ {n-1} -x ^ np \\ & = & n [p, x] x ^ {n-1} = n {\ hbar \ sobre i} x ^ {n-1} \\ \ end {eqnarray *}$

Normalmente não é aconselhável usar os operadores diferenciais e uma muleta de função de onda para calcular comutadores como este. Use os comutadores básicos conhecidos quando puder. No entanto, podemos calcular dessa forma.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [p, x ^ n] \ psi = {\ hbar \ over i} {\ partial \ over \ ... ... {\ partial \ over \ partial x} \ psi = {\ hbar \ over i} nx ^ {n-1} \ psi \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [p, x ^ n] = {\ hbar \ over i} nx ^ {n-1} \ egroup \ end {displaymath}$

Funciona muito bem para este caso em particular, mas não se eu tiver $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ algum poder ...

Comutador de $\ bgroup \ color {black} $ L_x $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ L_y $ \ egroup$

O momento angular é definido por

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {preto} \ vec {L} = \ vec {r} \ times \ vec {p}. \ egroup \ end {displaymath}$

Portanto, os componentes do momento angular são

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} L_z = xp_y-yp_x \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} L_x = yp_z-zp_y \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} L_y = zp_x-xp_z. \ egroup \ end {displaymath}$

Queremos calcular $\ bgroup \ color {black} $ [L_x, L_y] $ \ egroup$ qual possui todas as coordenadas e momentos.

Os únicos operadores que não comutam são as coordenadas e seus momentos conjugados.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [x, y] = 0 \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [p_x, p_y] = 0 \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} [p_i, r_j] = {\ hbar \ over i} \ delta_ {ij} \ egroup \ end {displaymath}$

Portanto, agora só precisamos calcular.

$\ begin {eqnarray *} [L_x, L_y] & = & [yp_z-zp_y, zp_x-xp_z] \\ & = & [yp_z, zp_x] - [yp_z, xp_z ... ...- 0-0 + x [z, p_z] p_y \\ & = & {\ hbar \ over i} (yp_x-xp_y) = i \ hbar L_z \\ \ end {eqnarray *}$

Não é necessário (ou sábio) usar os operadores diferenciais e uma muleta de função de onda para calcular comutadores como este. Use os comutadores básicos conhecidos quando puder.

Problemas de teste de amostra

O quadrado absoluto de uma função de onda para uma partícula livre é dado como:

$\ begin {displaymath} \ vert \ psi (x, t) \ vert ^ 2 = \ sqrt {a \ over 2 \ pi (a ^ 2 + b ^ 2t ^ 2)} e ^ {- a (x-v_g t ) ^ 2/2 (a ^ 2 + b ^ 2t ^ 2)} \ end {displaymath}$

Encontre o valor esperado de em função do tempo. Encontre o valor esperado de em função do tempo. Calcule a largura x RMS desse pacote de ondas em função do tempo.
Encontre o comutador onde é uma constante e o segundo operador pode ser expandido como . $[p, e ^ {ik_0 x}]$ $e ^ {ik_0 x} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty {(ik_0 x) ^ n \ sobre n!}$
Quais das opções a seguir são operadores lineares?
Para uma partícula livre, o operador de energia total H é dado por . Calcule os comutadores [H, x] e [H, p]. Se uma partícula está em um estado de energia definida, o que esses comutadores dizem sobre quão bem conhecemos a posição e o momento da partícula?
Encontre o comutador .
Calcule o comutador onde é o Hamiltoniano de uma partícula livre.