Schrödinger desenvolveu uma equação diferencial para o desenvolvimento de uma função de onda no tempo . Como o operador Energia tem uma derivada de tempo, o operador de energia cinética tem derivadas de espaço, e esperamos que as soluções sejam ondas viajantes, é natural tentar uma equação de energia. A equação de Schrödinger é a declaração do operador de que a energia cinética mais a energia potencial é igual à energia total .

$\ epsfig {arquivo = figs / Schrodinger.eps, altura = 3in}$

Derivando a equação dos operadores

Para uma partícula livre , temos

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {p ^ 2 \ over 2m} = E \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} - {\ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2 \ over \ partial x ^ 2} \ psi = i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} \ psi \ egroup \ end {displaymath}$

Vamos tentar esta equação em nossos estados de momentum definido .

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} - {\ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2 \ over \ parti ... ... artial t} {1 \ over \ sqrt {2 \ pi \ hbar}} e ^ {i (p_0x-E_0t) / \ hbar} \ egroup \ end {displaymath}$

A constante na frente da função de onda pode ser removida de ambos os lados. Está lá para normalização, não faz parte da solução. Vamos em frente e faremos a diferenciação.

$\ begin {eqnarray *} - {\ hbar ^ 2 \ over 2m} {- p_0 ^ 2 \ over \ hbar ^ 2} e ^ {i (p_0x-E_0t) / \ hbar} = ... ... 0 ^ 2 \ sobre 2m} e ^ {i (p_0x-E_0t) / \ hbar} = E_0e ^ {i (p_0x-E_0t) / \ hbar} \\ \ end {eqnarray *}$

Nossa função de onda será uma solução da equação de Schrödinger de partícula livre fornecida . Isso é exatamente o que queríamos. Portanto, construímos uma equação que tem as funções de onda esperadas como soluções. É uma equação de onda baseada na energia total. $\ bgroup \ color {black} $ E_0 = {p_0 ^ 2 \ over 2m} $ \ egroup$

Adicionando energia potencial, temos a Equação de Schrödinger

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2 \ psi (x, t) \ over \ partial x ^ 2} + V (x) \ psi (x, t) = i \ hbar {\ partial \ psi (x, t) \ over \ partial t} $ \ egroup$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H \ psi (x, t) = E \ psi (x, t) \ egroup \ end {displaymath}$

Onde

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} H = {p ^ 2 \ over 2m} + V (x) \ egroup \ end {displaymath}$

é o operador hamiltoniano.

Em três dimensões , isso se torna.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle H \ psi (\ vec {x}, t) = {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} \ nabla ^ 2 \ ... ... (\ vec {x} ) \ psi (\ vec {x}, t) = i \ hbar {\ parcial \ psi (\ vec {x}, t) \ sobre \ parcial t} $ \ egroup$

Nós o usaremos para resolver muitos problemas neste curso.

Portanto, a Equação de Schrödinger é, em certo sentido, simplesmente a afirmação (nos operadores) de que a energia cinética mais a energia potencial é igual à energia total.

O Fluxo de Probabilidade *

Em analogia ao vetor de Poynting para radiação EM, podemos querer saber a probabilidade de corrente em alguma situação física. Por exemplo, em nossa solução de partículas livres, a densidade de probabilidade é uniforme em todo o espaço, mas há um fluxo líquido ao longo da direção do momento.

Podemos derivar uma equação que mostra a conservação da probabilidade diferenciando e usando a Equação de Schrödinger. $\ bgroup \ color {black} $ P (x, t) = \ psi ^ * \ psi $ \ egroup$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {\ partial P (x, t) \ over \ partial t} + {\ partial j (x, t) \ over \ partial x} = 0 \ egroup \ end { displaymath}$

Esta é a equação de conservação usual se $\ bgroup \ color {black} $ j (x, t) $ \ egroup$ for identificada como a corrente de probabilidade.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} j (x, t) = {\ hbar \ over 2mi} \ left [\ psi ^ * {\ pa ... ... r \ partial x} - {\ parcial \ psi ^ * \ over \ partial x} \ psi \ right] \ egroup \ end {displaymath}$

Esta corrente pode ser calculada a partir da função de onda.

Se integrarmos se ao longo de algum intervalo em $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ int \ limits_a ^ b {\ parcial P (x, t) \ sobre \ parcial t} dx = - \ int \ limites_a ^ b {\ parcial j (x, t) ) \ over \ partial x} \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {\ partial \ over \ partial t} \ int \ limits_a ^ b P (x, t) dx = j (x = a, t) -j (x = b, t) \ egroup \ end {displaymath}$

a equação diz que a taxa de mudança de probabilidade em um intervalo é igual ao fluxo de probabilidade para a integral menos o fluxo de saída.

Estendendo esta análise para 3 dimensões ,

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {\ partial P (x, t) \ over \ partial t} + \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {j} (\ vec {r}, t) = 0 \ egroup \ end {displaymath}$

com

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle \ vec {j} (\ vec {r}, t) = {\ hbar \ over 2mi} \ left [\ ps ... ... bla} \ psi (\ vec {r}, t) - \ psi (\ vec {r}, t) \ vec {\ nabla} \ psi ^ * (\ vec {r}, t) \ right] $ \ egroup$

A Equação de Onda de Schrödinger

A equação normal que obtemos, para ondas em uma corda ou na água, relaciona a derivada do segundo espaço com a derivada do segundo tempo. A equação de Schrödinger usa apenas a derivada da primeira vez , no entanto, a adição de $\ bgroup \ color {black} $ i $ \ egroup$ relaciona a parte real da função de onda à parte imaginária, na verdade deslocando a fase em 90 graus como faria a 2ª derivada.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2 \ psi (x, t) \ ... ... + V (x) \ psi (x , t) = i \ hbar {\ partial \ psi (x, t) \ over \ partial t} \ egroup \ end {displaymath}$

A equação de Schrödinger é construída para funções de onda complexas .

Quando Dirac tentou fazer uma versão relativística da equação, onde a relação de energia é um pouco mais complicada, ele descobriu uma nova física.

Gasiorowicz Capítulo 3

Griffiths Capítulo 1

Cohen-Tannoudji et al. Capítulo

A equação de Schrödinger independente do tempo

Equações diferenciais de segunda ordem, como a Equação de Schrödinger, podem ser resolvidas por separação de variáveis . Essas soluções separadas podem então ser usadas para resolver o problema em geral.

Suponha que possamos fatorar a solução entre o tempo e o espaço.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ psi (x, t) = u (x) T (t) \ egroup \ end {displaymath}$

Conecte isso à equação de Schrödinger.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ left ({- \ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2u (x) \ ... ...) \ right) T (t) = i \ hbar u (x) {\ partial T (t) \ over \ partial t} \ egroup \ end {displaymath}$

Coloque tudo que depende $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ da esquerda e tudo que depende $\ bgroup \ color {black} $ t $ \ egroup$ da direita.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {\ left ({- \ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2u (x) ... ... \ hbar {\ partial T (t) \ sobre \ parcial t} \ sobre T (t)} = const. = E \ egrupo \ end {displaymath}$

Uma vez que temos uma função de apenas $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ definida igual a uma função de apenas $\ bgroup \ color {black} $ t $ \ egroup$ , ambos devem ser iguais a uma constante . Na equação acima, chamamos a constante de $\ bgroup \ color {black} $ E $ \ egroup$ (com algum conhecimento do resultado). Agora temos uma equação em $\ bgroup \ color {black} $ t $ \ egroup$ conjunto igual a uma constante

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} i \ hbar {\ partial T (t) \ over \ partial t} = E \; T (t) \ egroup \ end {displaymath}$

que tem uma solução geral simples ,

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} T (t) = C e ^ {- iEt / \ hbar} \ egroup \ end {displaymath}$

e uma equação em $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ conjunto igual a uma constante

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2u (x) \ over \ partial x ^ 2} + V (x) u (x) = E \ ; u (x) \ egroup \ end {displaymath}$

que depende do problema a ser resolvido (por meio $\ bgroup \ color {black} $ V (x) $ \ egroup$ ).

A $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ equação é freqüentemente chamada de Equação de Schrödinger independente do tempo .

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2u (x) \ over \ partial x ^ 2} + V (x) u (x) = E \; u (x) $ \ egroup$

Aqui, $\ bgroup \ color {black} $ E $ \ egroup$ é uma constante. A solução dependente em tempo integral é.

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle \ psi (x, t) = u (x) e ^ {- iEt / \ hbar} $ \ egroup$

* Exemplo: Resolva a equação de Schrödinger para um potencial constante . *

Derivações e cálculos

Operadores lineares

Operadores lineares $\ bgroup \ color {black} $ L $ \ egroup$ satisfazem a equação

$\ bgroup \ color {black} $ \ displaystyle L (a \ psi + b \ phi) = aL \ psi + bL \ phi $ \ egroup$

onde $\ bgroup \ color {black} $ a $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ b $ \ egroup$ são constantes arbitrárias e $\ bgroup \ color {black} $ \ psi $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ \ phi $ \ egroup$ são funções de onda arbitrárias. Uma constante multiplicativa é um operador linear simples. Os operadores diferenciais também são claramente lineares.

Um exemplo de operador não linear (que não usaremos) é $\ bgroup \ color {black} $ N $ \ egroup$ aquele que tem a propriedade

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} N \ psi = \ psi ^ 2. \ egroup \ end {displaymath}$

Equação de conservação de probabilidade

Comece pela probabilidade e diferencie com relação ao tempo.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {\ partial P (x, t) \ over \ partial t} = {\ parti ... ... rtial t} \ psi- \ psi ^ * {\ partial \ psi \ over \ partial t} \ right] \ egroup \ end {displaymath}$

Use a equação de Schrödinger

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2 \ psi \ over \ partial x ^ 2} + V (x) \ psi = i \ hbar {\ parcial \ psi \ over \ partial t} \ egroup \ end {displaymath}$

e seu conjugado complexo

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2 \ psi ^ * \ ove ... ... x ^ 2} + V (x) \ psi ^ * = - i \ hbar {\ partial \ psi ^ * \ over \ partial t}. \ egroup \ end {displaymath}$

(Presumimos que $\ bgroup \ color {black} $ V (x) $ \ egroup$ seja real. Potenciais imaginários fazem com que a probabilidade não seja conservada.)

Agora precisamos conectar essas equações.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {\ partial P (x, t) \ over \ partial t} = {1 \ over ... ... {\ partial ^ 2 \ psi \ over \ partial x ^ 2} + V (x) \ psi ^ * \ psi \ right] \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} = {1 \ over i \ hbar} {\ hbar ^ 2 \ over 2m} \ left [... ... tial x} \ psi- \ psi ^ * { \ partial \ psi \ over \ partial x} \ right] \ egroup \ end {displaymath}$

Esta é a equação de conservação usual se $\ bgroup \ color {black} $ j (x, t) $ \ egroup$ for identificada como a corrente de probabilidade.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {\ partial P (x, t) \ over \ partial t} + {\ partial j (x, t) \ over \ partial x} = 0 \ egroup \ end { displaymath}$

Exemplos

Solução para a equação de Schrödinger em um potencial constante

Suponha que queremos resolver a equação de Schrödinger em uma região na qual o potencial é constante e igual a $\ bgroup \ color {black} $ V_0 $ \ egroup$ . Encontraremos duas soluções para cada energia $\ bgroup \ color {black} $ E $ \ egroup$ .

Temos a equação.

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} {\ partial ^ 2 \ psi (x) \ over \ partial x ^ 2} + V_0 \ psi (x) = E \ psi (x) \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} {\ partial ^ 2 \ psi (x) \ over \ partial x ^ 2} = - {2m \ over \ hbar ^ 2} (E-V_0) \ psi (x ) \ egroup \ end {displaymath}$

Lembre-se de que $\ bgroup \ color {black} $ x $ \ egroup$ é uma variável independente na equação acima, enquanto $\ bgroup \ color {black} $ p $ \ egroup$ e $\ bgroup \ color {black} $ E $ \ egroup$ são constantes a serem determinadas na solução.

Pois $\ bgroup \ color {black} $ E> V_0 $ \ egroup$ , existem soluções

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} e ^ {ikx} \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} e ^ {- ikx} \ egroup \ end {displaymath}$

se definirmos $\ bgroup \ color {black} $ k $ \ egroup$ pela equação . Estas são ondas viajando em direções opostas com a mesma energia (e magnitude do momento). $\ bgroup \ color {black} $ \ hbar k = + \ sqrt {2m (E-V_0)} $ \ egroup$

Também podemos usar as combinações lineares das duas soluções acima

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ sin (kx) \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} \ cos (kx). \ egroup \ end {displaymath}$

Existem apenas duas soluções linearmente independentes. Precisamos escolher as funções exponenciais ou trigonométricas, não ambas. As soluções de sen e cos representam estados de energia definida, mas contêm partículas que se movem para a esquerda e para a direita. Eles não são estados de momentum definidos. Eles serão úteis para nós para algumas soluções.

As soluções também são tecnicamente corretas, $\ bgroup \ color {black} $ E <V_0 $ \ egroup$ mas $\ bgroup \ color {black} $ k $ \ egroup$ se tornam imaginárias. Vamos escrever as soluções em termos de As soluções são $\ bgroup \ color {black} $ \ hbar \ kappa = i \ hbar k = \ sqrt {2m (V_0-E)} $ \ egroup$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} e ^ {\ kappa x} \ egroup \ end {displaymath}$

$\ begin {displaymath} \ bgroup \ color {black} e ^ {- \ kappa x}. \ egroup \ end {displaymath}$

Não são ondas, mas exponenciais reais. Observe que essas são soluções para regiões onde a partícula não é permitida classicamente, devido à conservação de energia; a energia total é menor do que a energia potencial. Usaremos essas soluções em Mecânica Quântica.

A Equação de Schrödinger