Álgebra linear

Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano R³. Subespaços são estudados em álgebra linear.
Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.

Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.

O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares (sistemas lineares) são conjuntos finitos de equações lineares nas mesmas variáveis.

As equações lineares nas incógnitas x₁,x₂,...,x_n podem ser formuladas como abaixo:

a₁x₁+ a₂x₂+ ... + a_nx_n = b

Dizemos que a constante a_k é o coeficiente de x_k e b é o termo constante da equação.

Geometria analítica

A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões.

Muitos estudiosos consideram a introdução da geometria analítica como o marco inicial da matemática moderna.

Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

Espaços vetoriais

Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.

Transformação linear

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar.

Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear.

No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear.

Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Números complexos

O tipo numérico básico da MATLAB consiste em uma matriz de uma linha e uma coluna contendo um valor real de 64 bits. Este valor é um número complexo contendo a parte real e a parte imaginária.

O vetor-linha é uma matriz 1 por n, o vetor-coluna é uma matriz n por 1, um escalar é uma matriz 1 por 1.

Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma imaginária e representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (R).

Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma imaginária e representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (R).

A Matriz-Real possui a parte imaginária de todos os elementos iguais a zero.

Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexas, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.

Os números complexos são representados na forma algébrica como Z = a + bi, sendo 'a' a parte real e 'b' a parte imaginária. Tais números formam um conjunto que engloba, por exemplo, as raízes quadradas de números negativos – considerada por matemáticos antigos como insolúveis ou inexistentes.

Não há necessidade de tratamento especial nas operações da MATLAB pois o tipo numérico básico é uma matriz de números complexos.

>> c1  = 1 - 2i
c1 = 1.0000 - 2.0000i
>> c2  = 3 * ( 2 - sqrt(-1) * 3)
c2 = 6.0000 - 9.0000i
>> c3  = sqrt(-2)
c3 = 0 + 1.4142i
>> c4  = 6+sin(.5)*i
c4 = 6.0000 + 0.4794i
>> c5  = c1/c2
c5 = 0.2051 - 0.0256i
>> c6  = (c1+c2)/c3
c6 = -7.7782 - 4.9497i
>> c6r = real(c6)
c6r = -7.7782
>> c6i = imag(c6)
c6i = -4.9497

Para obtermos a magnitude, o ângulo em radianos e em graus utilizamos as funções abs e angle:

>> c1
c1 = 1.0000 - 2.0000 i 
>> mag = abs(c1)    % Magnitude
mag = 2.2361
>> ang = angle(c1)  % Ângulo em radianos 
ang = -1.1071
>> deg = ang*180/pi % Ângulo em graus: ângulo em radianos x 180
deg = -63.4349

Notas:

i = j = sqrt(-1)
MATLAB aceita 2i, mas não aceita que se escreva sin(0.5)i.

Declaração

A parte real e a parte imaginária de um número complexo também são separadas por espaços.

Assim, um cuidado adicional deve ser tomado para construir vetores que contenham números complexos.

>> x = [1 -2i 3 4 5+6i]
x = Columns 1 through 5
1.0000 0-2.0000i 3.0000 4.0000 5.0000 + 6.0000i
>> y = [(1-2i) 3 4 5+6i]
y = 1.0000-2.0000i 3.0000 4.0000 5.0000+6.0000i

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